一、微積分發明的歷史

人類在歷史長河的漫長積累中創造了輝煌的現代文明，任何一次科學的飛躍以及技術的突破，都是歷經數代乃至數十代人的共同努力而成的。誠如微積分的發明者之一牛頓所言“：如果說我看得比別人更遠一些，那是因為我站在了巨人的肩膀上。”早在三國時期（公元263年），數學家劉徽就提出“割圓術”的思想：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣。”大意就是我們可以用一個與圓內接的正多邊形來近似描述一個圓形，在多邊形的邊數較少的情況下，這種近似的誤差較大，不過這種誤差在邊數不斷增加的情況下將會逐漸減少，最終消失。割圓術在分割的過程中用到的是基礎的幾何與代數，形象而又直觀。不過它最重要的價值是在于提出了一種極限的思想萌芽，告訴我們可以通過逼近的手段得到一個任意精確度的結果。極限的概念和物理中的質點運動有著非常密切的關聯。一般而言，一個宏觀質點在空間中的運動一定是有時間連續性的，也就是說，該質點的位置、速度以及加速度都是隨著時間不斷地進行著連續過渡，這些物理量在某個時刻的前后并不存在跳躍變化。從極限的角度來理解那就是：若一個時刻與下一個相鄰時刻之間的間隔可以被無限小地逼近，那么在這個時間間隔里這些物理量的相應變化也應該是無限微小的。牛頓將這兩個無限小量的比值與運動學的定義結合起來，使得無限微分的概念有了一個明確的物理原型。而后，微分的逆過程又和求變速運動、變力做功等問題產生直接對應，牛頓-萊布尼茲公式在解決這些問題上發揮了重要作用。至此，微積分的理論基石被完全奠定，經典力學的結構也由此日趨完整。

二、微積分的思想方法

微積分的思想包含了有限與無限、近似與精確的辯證統一。這種統一在數學上已經得到了嚴格的證明，因此在物理學特別是經典物理學的范疇內，微積分已成為一種重要工具用于描述并解決各類物理問題。我們以質點運動學中“變力做功”這一經典問題為例，來闡述微積分的思想以及方法。在中學物理中，我們已經對質點運動過程中力的做功有了明確的定義，即力與質點沿著該力方向所發生位移的乘積。根據這一定義，可以直接獲得直線運動情況下恒力的做功。可是一旦涉及到更一般的情況，如運動過程中作用于質點上的力不斷隨著質點所處的空間位置而變化，之前的定義就會遇到困難。此時，運用有限元近似的處理方法將成為一種解決的可能。我們可將質點的運動軌跡分割為有限數量的小段，每一個小段都近似為直線段；另一方面，因為質點經過的每一小段長度都很小，所以在同一個小段內質點的位置改變不明顯，所受到的力可以近似看成一個恒力。于是利用之前的做功定義，可以得到質點在任意一個小段內受到的外力做功的近似值，將這些近似值進行累加就獲得總功的近似值。值得一提的是，通過這種方法得到的近似值與精確值之間的誤差是可以控制到任意小的，只要我們將軌跡分割到足夠短、數量足夠多即可，這一點與前述“割圓法”是類似的。微積分在思想上的重要突破就是：當這種分割持續到無限，每個小段的長度都任意小的時候，對無限多個微小量的求和數值是收斂的！而且該收斂的數值就是變力做功的精確值。于是，初等數學的求和計算就過渡到了定積分。

眾所周知，定積分的計算包含被積函數、積分變量、積分上下限等基本要素，在“變力做功”的例子中，這些基本要素均可以找到一一對應的物理內容。因為力是空間位置的函數，而空間位置的變化則體現在每一段無窮小的位移量上，這二者的點乘積即為做功的微元，這些微元的累積代表總功。質點運動軌跡的終點和起點分別由定積分的上、下限來表示。現在“，變力做功”這個初等代數解決不了的問題已經完全轉換成了一個定積分計算。定積分實際上就是無限微分（即求導數）的一個逆過程。一個函數的導數可以按下列步驟來演算：首先假設函數的自變量產生一個有限大小的增量，則函數也隨之產生一個相應的變化量，可得變化量與增量的比值，再求得該比值在增量趨近于零時候的極限，就得到了導數函數，之前的函數則稱為該導數的原函數。牛頓-萊布尼茲公式告訴我們：對導數函數求定積分等效于求其原函數在上、下限的函數值之差。所以在“變力做功”的問題上，只要能找到力函數的原函數，就意味著存在解析解。

三、從微積分的角度看物理問題

微積分思想方法的應用，極大地拓展了分析各類物理問題的范圍。在中學物理中，很多的物理量是通過兩個或者多個物理量的乘積來定義的。如位移可表示為速度與時間間隔的乘積，速度可表示為加速度與時間間隔的乘積，做功可表示為力與位移的乘積，電勢可表示為電場強度與空間距離的乘積，磁通量可表示為磁感應強度與面積的乘積等等。在這類乘法定義中，均是采用一個恒定量乘以某段時間間隔或空間（可以是一維、二維或三維）間隔。在經典物理的框架內，時間與空間都是連續且均勻變化的，而恒定的物理量并不隨著時空的變化而變化。這些顯然都是特殊情況，是為了讓初次接觸物理者盡快建立起相應的物理概念而設定的。一般情況下，我們所討論的物理量均是以時間和空間為基本變量的函數，類似“變力做功”，這些問題只能通過微積分的方法來進行求解。由微積分的思維方式理解物理問題的關鍵在于：采用無窮多次的分割，將目標物理量分解為微小的單元量，每一個單元量都與中學物理的定義相互對應，最后對這些單元量進行累積。

實際上，這種計算方法是非常直觀明確的，它們均是建立在物理學的基本定義之上。在寫出積分表達式后，如果被積的函數是一個恒量，由提取公因子可知這個恒量可以放在積分號的外面，于是中學物理中的各類定義就能得以重現。如果被積函數是一些常見的函數，此時微積分的計算就會顯示出它的強大功能。當然，有一些較復雜的函數不容易找到其原函數的解析表達式，這時候可能需要運用到一些積分的運算技巧，如分部積分、換元法等等。即使這些技巧無效，在計算機技術高度發達的今天，這些困難也都可以找到解決方案。“數值定積分”的算法思想就是將函數的積分區間等間距分割為N個點，將這N個點對應的數值代入被積函數將得到N個函數值，這些函數值的總和乘以積分區間上相鄰兩點的距離就是積分的數值結果。只要讓N的數值足夠大，最后的結果與精確值之間的誤差就會任意小。所以，在大學物理課上講解微積分，主要是培養學生掌握這種分析問題的思維習慣，不應該讓繁雜的數學運算阻礙他們看清問題的本質。

四、總結

總的來說，以形象直觀的物理模型為載體，將微積分的思想方法融入各類物理問題的講解中，有助于學生更快地理解并掌握這一高等數學的方法，同時強化了對經典物理理論體系的認識。采用微積分計算，中學物理的大量公式（除了基本定義）均可推導出來，這將進一步激發學生的學習信心與熱情，對學生自我學習能力的培養具有重要的促進作用。

作者：歐聰杰 單位：華僑大學信息科學與工程學院