空面反輻射導彈可觀測性增強的彈道規劃方法

　　摘 要：由于導引體制和空間布局上的約束，反輻射導彈被動雷達導引頭僅能輸出相對目標的方位角度信息，一般無法閉合制導律的計算，同時考慮抗目標雷達關機的基本功能需求，開展反輻射導彈被動目標定位問題的關鍵技術研究。首先對被動目標定位問題進行了三維建模，定量分析了系統的可觀測性，在此基礎上，提出了一種導彈可觀測性增強的彈道規劃方法，并通過仿真校驗，給出了典型非線性濾波器的選取分析。可觀測性分析表明制導上彈道的過早、過快的收斂并不利于導彈對目標的定位，控制上需要采取主動干涉彈道的措施，促進被動目標定位濾波器的收斂，同時運用克拉美-羅下界分析目標狀態估計的精度上限，并通過定義相應指標進行控制優化設計。通過對三種典型非線性濾波器的比較可知，擴展卡爾曼濾波器適用于被動目標定位問題，在計算量方面具有彈上的可行性，綜合濾波性能較好。

　　本文源自戰術導彈技術 發表時間：2021-03-23 《戰術導彈技術》(雙月刊)創刊于1980年，是由中國航天科工集團第三研究院主辦、航天導彈總體專業信息網協辦，是為導彈的研究、設計、制造、試驗、使用服務的綜合性學術技術類刊物。主要欄目：總體技術、制導與控制技術、推進技術、計算機應用技術。

　　關鍵詞：反輻射導彈;制導;被動目標定位;可觀測性分析;擴展卡爾曼濾波;彈道規劃

　　1 引 言

　　由于導引體制上的固有特性，反輻射導彈所采用的被動雷達導引頭無法輸出用于閉合制導計算的視線角速度、失調角，彈目距離等信息，而僅能輸出相對于目標的兩個視線角。在這種情況下，目標信息也只能從這兩個角度中提取，因此，上述問題屬于純方位目標定位問題或被動目標定位問題的研究范疇[1-8]。被動目標定位問題雖然可以用一些新型的方法解決或分析[9-11]，但本質上仍然是一個非線性濾波問題[3，7]。

　　對于純方位目標跟蹤問題，Stamfield 估計法和偽線性估計法是最常見的兩種基于最小二乘的定位算法[12]，算法易于實現，但缺點是有偏估計，因此出現了如輔助變量法、約束最小方差法和總最小方差法等一些消除偏差的算法[13]。文獻[14] 分析了擴展 Kalman 濾波在純方位目標跟蹤中的性能。文獻 [15] 提出了基于距離參數化的均方根容積Kalman 濾波算法。文獻 [16] 給出了一種高斯和容積Kalman濾波純方位跟蹤算法。上述文獻重點研究純方位量測情況下的目標定位算法，并未考慮到反輻射導彈這一類僅能測角的制導武器的特點，對于制導武器，除了要完成對目標位置的估計，還需要控制彈體向著減少瞬時脫靶量或視線角速度的方向上運動，從而完成對目標打擊的實際需求。而控制彈體運動減少視線角速度會降低導彈對目標可觀測性，影響估計性能，并最終影響目標打擊效果。在僅有角度測量的條件下，系統可觀測性的強弱與導彈飛行彈道緊密相關，合理的彈道規劃可以提高系統的可觀測性。

　　本文主要研究反輻射導彈打擊地面雷達目標時，被動定位的可觀測性、最優彈道規劃和濾波方法選取等關鍵技術，從而為反輻射導彈純方位量測情況下的目標打擊提供關鍵技術支撐。在可觀測性分析的基礎上，提出導彈可觀測性增強的彈道規劃方法，用于進一步提升濾波器的收斂性能。

　　2 被動目標定位問題建模

　　三維彈目相對運動關系如圖1所示，被動雷達導引頭僅能提供視線高低角θ和視線方位角ψ。根據反輻射導彈的典型目標特性和彈道特性，以及正常的作戰使用，θ，ψ ∈ ( - π 2，π 2)，通常應在一個更小的范圍內。如圖 1 所示，反輻射導彈和目標的坐標分別為( xm，ym，zm )和( xt ，yt ，zt )，建立導彈、目標與視線角之間的幾何關系為：

　　ψ = arctan ( z(t) x(t) ) θ = arctan ( y (t) x2 (t) + z 2 (t) ) (1)其中，x = xt - xm，y = yt - ym，z = zt - zm 表示彈目相對距離。

　　考慮反輻射導彈典型目標靜止或可以當作靜止目標處理的情況，建立系統的狀態方程為： X? = 0 ⋅ X + B(t)u(t) (2)其中，X = x(t) = xt (t) - xm (t) 為彈目相對位置向量，B(t) = -I 3 × 3 是負的單位陣，u(t) = vm (t) 是導彈的速度向量。由于目標靜止，vt (t) = 03 × 1 ，從而 x ? (t) = -vm (t)。

　　在直角坐標系下，反輻射導彈被動目標定位問題采用系統方程式 (1) 和量測方程式 (2) 建模，由此可見被動目標定位問題是一個狀態方程為線性，量測方程為非線性的非線性系統。

　　3 可觀測性分析

　　由于誤差只影響系統解的精確程度，并不影響該解的存在唯一性，因此在系統可觀測性分析時可不考慮誤差的影響。利用系統可觀測的秩判據進行可觀測性分析。定義：N = [ n0 (t) n1 (t) ? ni - 1 (t)] T (3)其中，ni - 1 (t) = d dt ni - 2 (t) + ni - 2 (t) ∂f ∂XT。對于本文的被動目標定位問題，f表示量測方程部分。如果存在一個時刻，矩陣 N 滿秩，則該時刻系統是可觀測的。

　　由于空面反輻射導彈的典型目標為固定目標，式(1)和式(2)可進一步表示為： ì í î ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï x? = -vx y? = -vy z? = -vz ψ = arctan ( z(t) x(t) ) θ = arctan ( y (t) x2 (t) + z 2 (t) )其中，vx，vy，vz是導彈在導航坐標系的速度分量。利用式(4)，計算N陣如式(5)所示。 N = é ë ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê êê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú úú ú ú ú ú ú ú ú ú ú - 1 x 0 1 z - x x2 + z 2 1 y - z x2 + z 2 d dt (- 1 x ) 0 d dt ( 1 z ) d dt (- x x2 + z 2 ) d dt ( 1 y ) d dt (- z x2 + z 2 ) d2 dt 2 (- 1 x ) 0 d2 dt 2 ( 1 z ) d2 dt 2 (- x x2 + z 2 ) d2 dt 2 ( 1 y ) d2 dt 2 (- z x2 + z 2 ) (5)假設導彈速度大小變化不大，則 N 陣可簡化為： N = é ë ê ù û ú Nt 0 (6)其中， Nt = é ë ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú - 1 x 0 1 z - x x2 + z 2 1 y - z x2 + z 2 vx x2 0 - vz z 2 ( x2 - z 2 )vx + 2xzvz ( x2 + z 2 ) 2 - vy y2 2xzvx - ( x2 - z 2 )vz ( x2 + z 2 ) 2 (7)由式(7)得到N陣滿秩的條件為 vx x ≠ vz z z ≠ 0 (8)

　　由式 (8) 可知，系統可觀測的條件為反輻射導彈作方向不指向目標的勻速直線運動。這也就要求導彈在水平方向具有一定的位移，但由于導彈總是在減少脫靶量的方向上運動，這一點可能與實際的控制效果相違背。而水平方向上導彈飛行彈道的過早、過快的收斂并不利于導彈對目標的觀測和定位，控制上需要采取相應的措施，進行導彈飛行彈道的主動干涉，以提高系統的可觀測性，進而提高被動定位濾波器的收斂速度。

　　4 可觀測性增強的彈道規劃

　　由于導引頭僅能提供相對目標的方位指示信息，目標信息或彈目距離無法根據這些信息直接重構，因此無法閉合制導律的計算。正常情況下，制導律都會控制導彈向著彈道收斂的方向上運動，這樣會造成導彈對目標的可觀測性變差，如圖 2 所示的極端情況，導彈對視線上目標的觀測量始終是一樣的，無法只通過角度來區分不同的目標。

　　可觀測性變差使得目標信息的估計精度也會越來越差，估計性能越差，制導性能也會越差。可見，制導方法和可觀測性之間存在著矛盾，越是先進的制導方法，視線角速度的收斂速度一般越快，反而越不適用于反輻射導彈的制導[17-18]。因此，對于導引頭僅能提供相對目標的方位指示信息的情況，需要綜合考慮制導律和濾波器的收斂性能。因此水平方向上，在濾波器收斂效果不理想時，在保證對目標穩定截獲的情況下，施加小幅的機動或控制，如圖 3 所示，通過主動改變彈道形狀的方式促進濾波器的收斂。

　　定義 P 為典型濾波器的估計均方誤差矩陣，則式(9)的不等式成立。

　　P = E {(X - X?)(X - X?) T } ≥ P∗ = CRLB (9)其中，P∗ 為濾波器的估計均方誤差的性能極限矩陣 ， 稱 為 克 拉 美 - 羅 下 界 (Cramer-Rao lower bound，CRLB)，表示誤差的下限或精度的上限。由此可以認為，濾波器每一步計算的估計誤差的均方差陣 P 反映了信息估計的誤差，因此可以據此定義相應的性能指標，并以主動干涉導彈飛行彈道的方式進行控制優化設計，從而提高濾波器的收斂速度。由此，定義性能優化指標為： J = uT u + κ ⋅ tr(P) (10)其中，u 為導彈的控制量，tr () 為矩陣求跡運算。

　　5 被動目標定位濾波模型

　　5. 1 典型非線性濾波器

　　目前被廣泛研究的典型非線性濾波器包括粒子濾波器 (PF)、無跡卡爾曼濾波 (UKF) 和擴展卡爾曼濾波器(EKF)等。

　　PF可以作為解決復雜非線性濾波問題的有效手段，不受模型的線性和高斯噪聲假設的約束，但PF同時也存在算法計算量過大，隨著時間的增加可能出現粒子退化的缺點。一般而言，UKF 算法相比于 EKF 算法在估計精度和收斂速度上存在優勢，但在復雜性和計算量上存在劣勢，例如 UKF中在構造每一個Sigma點時都需要實時計算估計均方誤差陣的平方根。

　　UKF 相對于 EKF 的優勢是基于系統可觀、狀態模型和噪聲特性相對準確的前提下，對于被動目標定位問題，由于系統的可觀測性較弱，還需要通過仿真進一步校驗。

　　5. 2 被動目標定位濾波模型

　　針對反輻射導彈典型目標特性的情況，對式(4) 進行離散化并加入系統誤差和量測誤差，可以得到：

　　ì í î ï ï ï ï ïï ï ï ï ï ï ï ïï ï ï é ë ê ê ê ê ù û ú ú ú ú xk yk zk = é ë ê ê ê ê ù û ú ú ú ú xk - 1 yk - 1 zk - 1 + (-I 3 × 3 ) é ë ê ê ù û ú ú vmx vmy vmz + wk - 1 ψ = arctan ( zk xk ) + v1k θ = arctan ( yk x2 k + z 2 k ) + v2k (11)由于導彈控制量改變了飛行速度在導航系下各個方向的分量，可將向量 u = [vmx vmy vmz] T 作為控制量。

　　PF算法和UKF算法可基于對應的濾波原理進行編程實現。EKF 算法中量測方程的泰勒級數展開式為： Hk = é ë ê ê ê ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú ú ú ú - zk x2 k + z 2 k 0 xk x2 k + z 2 k - xk yk R x2 k + z 2 k x2 k + z 2 k R - xk zk R x2 k + z 2 k (12)其中，R = x2 k + y 2 k + z 2 k。

　　5. 3 三種非線性濾波器的仿真比較

　　針對有無主動控制輸入干涉和系統模型是否準確的四種組合情況，進行了EKF、UKF和PF的仿真比較。由可觀測性增強的彈道規劃結果，控制輸入會增強系統的可觀測性。系統狀態噪聲體現了系統建模的準確程度，包括模型誤差和未建模系統特性。假設噪聲符合高斯分布的情況下，可以采用系統噪聲的方差陣 Q 來表示建模的準確程度。仿真中，通過選取不同的 Q 值來表示模型的準確程度，導引頭的測角噪聲為 17. 5 mrad (3σ)，PF的粒子數為200。

　　(1)準確模型且存在控制輸入下的仿真

　　該情況下的目標位置估計誤差如圖4所示。由圖4可知，三種濾波器的估計性能是基本相當的，但PF的收斂速度最快。EKF濾波器并未因為泰勒展開近似而表現出性能的下降，且由于其計算量是三種濾波器中最小的，綜合性能最好。

　　(2)模型不準確且存在控制輸入下的仿真

　　該種情況下的目標位置估計誤差如圖5所示。從圖 5 中可以發現，由于模型準確性下降，目標位置的估計誤差有所增大;EKF 和 UKF 兩種非線性濾波器的估計性能是基本相當的，而PF的估計性能有所下降，且整體效果較 EKF 和 UKF 要差。對于不準確的被動定位系統模型，PF出現了一定程度的粒子退化現象，從而造成估計性能的下降。

　　(3)模型準確且不存在控制輸入下的仿真

　　該種情況下的目標位置估計誤差如圖6所示。從圖 6 中可以發現，目標位置的估計誤差相比于存在控制輸入情況下的精度要差，且收斂效果也較差，主要由于被動定位系統的弱觀測性造成，而有控制輸入的情況通過改變導彈的飛行彈道，可以增強對目標的可觀測性，從而獲得更好的性能。

　　(4)模型不準確且不存在控制輸入下的仿真

　　該種情況下的目標位置估計誤差如圖7所示。從圖 7 中可以發現，由于模型不準確且不存在增強可觀測性的控制輸入，該種情況是條件最差的情況，濾波結果也是最差的。提高模型的準確程度和整個系統的可觀測性，是提高被動目標定位濾波器的收斂速度和估計精度的重要手段。

　　(5)仿真結果分析

　　對于式 (4) 所示的被動目標定位問題，UKF 算法并未表現出對 EKF 算法的明顯優勢，二者估計精度和收斂速度是相當的，而由于被動定位問題本身是可觀測性較差的，即使通過外部控制增強可觀測性，PF的性能優勢也并不明顯。仿真結果也進一步表明提高模型的準確程度和整個系統的可觀測性，是提高被動目標定位濾波器的收斂速度和估計精度的重要手段。

　　EKF 算法在計算量、估計精度和收斂速度等方面完全可以滿足導彈實際產品研制的需要，并且 EKF 算法在其它部分領域內也已實現了工程上的應用，這一點是PF和UKF等大計算量濾波器所未實現的。同時，式 (4) 所描述的被動定位問題，并不屬于復雜的非線性問題，采用 EKF 濾波方法完全可以勝任該問題的處理。

　　6 結 論

　　(1) 水平方向上彈道的過早、過快收斂并不利于反輻射導彈對目標的定位，控制上需要采取相應的措施，進行飛行彈道的干涉，從而提高系統的可觀測性和被動定位濾波器的收斂速度;

　　(2) 在濾波器收斂效果不理想時，運用CRLB 的表達式分析目標任一時刻狀態估計的精度上限，并定義相應的指標，以主動干涉導彈飛行彈道的方式進行控制優化設計，可以提高濾波器的收斂速度;

　　(3) 典型的非線性濾波器在被動目標定位上的濾波性能、計算量、工程應用情況等方面的仿真比較和分析表明，EKF 可作為被動目標定位的濾波方法，且具備彈上可實現性。