用漢語“若,則”指稱的充分條件關系(sufficientcondition,即必然關系,用符號表示)跟刻劃真值函數關系的實質蘊涵關系(materialimplication,簡稱蘊涵,用符號→表示)之間是風馬牛關系。這個自然語句的邏輯語義是:若A為含有的式(formula),B為把A中的用→替換后得出的式,則AFB(讀作A風馬牛B),即,(AB)∧(AB)∧(BA)∧(BA)。換個通俗的說法,風馬牛關系就是徹底的偶然關系,或者說,是最偶然的最偶然關系。

AFB有一項邏輯性質:若A、B間的真值搭配為全搭配,則AFB必真。故而,只要證明A、B間的真值搭配為全搭配達就證明了本文的論題。要對A、B舉出同真、同假、A假B真的例子,是不難的。亦即,我們只需再添上A真B假的實例,就完成了AFB為真的證明。含有1個號的(CD)(即C!D———C可能D)在C真而D假時可真(如,“路濕可能下雨”在事實上路濕而不下雨時也為真);然而,與之相應的變換后的(C→D)卻和C∧D等值,在C真D假時為假。含有兩個號的(CD)∧(CD)(即COD———C偶然D)可真;然而,與之相應的變換后的(C→D)∧(C→D)卻與C∧D∧C∧D等值,恒假。

下面,我們再作一次證明:設A為(p(x)q(x))r(x),于是,相應的B為(p(x)→q(x))→r(x)。以“物體”為論域。令:p(x)表示“x的溫度為100℃”,q(x)表示“x熔化”。我們用下表列出實例:　

“若x的溫度為t℃時則x熔化,必然,x的熔點不高于t℃”(α)為物理定理。不論x取何物,t為幾攝氏度,α常真?？墒?“若x的溫度為t℃時則x熔化,必然,x的熔點高于t℃”(β)與常真的物理定理α相反對,常假。然而,一經把上述物理定理α及其反對命題β中指稱充分條件關系的“若、則”、“必然”變換成純真值的“蘊涵”后,常真的物理定理α就變成可假,而常假的反對命題β卻變成可真了。用這種真假飄忽不定的實質蘊涵來取代固若金湯的充分條件(或必然)關系,實在是邏輯史上的誤會。

必須指出:即使當A、B同真時,這也只不過是一種徹底偶然的風馬牛的巧合。因為,在這種時候,A、B兩者的邏輯語義(決定A、B所以為真的邏輯依據)仍然根本不同:A說的是“若p則q;必然,r”。A是常真的一般的物理定理;當指定溫度t為100℃、物體x為一塊冰棍時則為A的個別例。象具有A這樣的邏輯語義的語句,凡是學過物理學中熔點的定義的人都聽得懂,說得出?？墒?實事求是而不故弄玄虛地說,與A相應的B(即(p→q)→r)的邏輯語義是:不是:“不是‘p真而q假’”真而r假。具有這種邏輯含義的語句,占人口99.999999%的人是聽不懂、不會說的。鑒于絕大多數的人從來不需要產生具有這種邏輯含義的思想,因而,不曾學會應該怎樣來形成和陳述這種話語。在這種情況下,B盡管和A同為真,然而,其邏輯語義要說相干,也不過是風馬牛相干。

我們所進行的是邏輯學的實事求是的科學討論,不是茶余飯后的隨便閑聊。經過論證,我們獲得的結論是:(1)在經驗科學的意義上,或者說,當把具有不同邏輯含義的?(充分條件)和→(蘊涵)分別應用于經驗科學時,AFB。我們稱這種情況為和→之間的經驗的風馬牛。(2)在邏輯科學的意義上,經過分析,獲得的結果是:傳統形式邏輯推理格式和正統數理邏輯形式定理之間的關系仍然是風馬牛。這個自然語句的邏輯語義是:若A為傳統形式邏輯命題形式的符號表達式,對A中指稱分充條件(或必然關系)的用?表示的“若,則”替換成實質蘊涵→后得出正統數理邏輯符號表達式B,則:“A有效”風馬牛“B有效”。

這個結論的證明是輕而易舉的。請看下表(其中的符號├、┤分別表示有效、不有效,分別讀作“柵”、“反柵”):這就證明了:(├A)F(├B)

在表中,我們在緊接各式的下邊同時寫出用自然語言表述的相應的式的邏輯語義。當有(├A)F(├B)時,對象序號1的A1、B1這樣的實例,雖然A1、B1都有效,可是只不過是一種偶然,甚而是一種風馬牛的巧合!這時候,A1、B1的邏輯語義仍然不同,亦即,A1、B1有效的依據完全不同:A1由于有兩個獨立性因而能從已知獲取新知,而B1沒有兩個獨立性因而不能從已知獲取新知,而是同語反復的重言式。稍作進一步的恒等變換就能看出,B1的前件C(C→D)和CD等值,前件中已經知道D了,還去推D干什么!后件D對于前件C(C→D)(即CD)來說怎么可能是新知?

這樣,我們已經證實了:第一,在經驗科學的范圍內,含有表述充分條件(即,必然)關系的聯結詞“若…則…”的命題A,如果將其中的“若…則…”用“蘊涵”替換得到B。此時,如果A與B相干也只是風馬牛相干。第二,在邏輯科學的意義上,含有以充分條件(即,必然)關系為邏輯語義的邏輯號?的傳統形式邏輯符號表達式A,一旦將其中的號替換成蘊涵號→后得出數理邏輯的符號表達式B,這種情況下,如果A與B的相對于各自的語義的邏輯有效性相干仍然不過是風馬牛相干!這鐵的事實證實了:用數理邏輯的蘊涵號→取代經驗科學或傳統形式邏輯中具有兩個獨立性的充分條件的,是絕對行不通的!

甚至,更具有說服力的是,用數理邏輯的蘊涵號→取代數理邏輯自身的元語言中所使用的“若…則…”,仍然是絕對行不通的!!在數理邏輯中有一系列原始規則和導出規則,這些規則通常都用“若…則…”來表述。我們都知道,作為形式系統的規則“若A則B”中的“若…則…”的邏輯含義是:可提供一個從A到B的形式證明。這就是說,可以寫出一個含有A且以B為結尾的式的有限系列,其中,除A外的每一個式,或者是公理,或者是以在前面出現的式為假設使用一次原始規則得出的結果。非常明顯,這樣的“若A則B”不是A、B的真值函數,亦即,“若A則B”成立與否不取決于A、B本身的真值,而是取決于能否寫出具有上述性質的被稱為“形式證明”的式的有限序列。事實上,這些在數理邏輯論著中出現的“若…則…”具有兩個獨立性:(1)第一獨立性———可獨立于A、B本身是否定理而確定不會A是定理而B不是定理;(2)第二獨立性———A是定理可獨立于B是否定理確定?？梢?數理邏輯元語言中所使用的“若…則…”就是表述充分條件的?,而不是蘊涵→。如果要說數理邏輯作為研究對象的蘊涵→跟元語言中作為研究工具的“若…則…”()之間有什么相干,那仍然不過是風馬牛相干!