圖乘法求解結構位移在教學中的本質分析

　　摘 要：學生學習圖乘法求解結構的位移時存在著很多難點，尤其是在具體的計算中缺乏正確的分析與計算過程。本文通過具體實例分析了圖乘法求解結構位移時的本質，闡述了圖乘法根據疊加法原理求解結構位移的詳細過程，解決了學生在求解結構位移時存在的困惑和容易出現的問題，從而使學生在使用圖乘法時能有更加清晰的認識和更加準確的計算。

　　關鍵詞 圖乘法，求解，結構位移，本質

　　近年來，很多學者提出了圖乘法求解結構位移時的不同理念[1-5]。然而，在工科學生中開設的《工程力學A》《材料力學》《結構力學》等課程，學生在用常規的圖乘法求解結構位移時存在很大問題，常常會遇到不知道哪個彎矩圖求面積哪個彎矩圖找豎標值及圖乘中如何分割面積進行圖乘等難題。這些難題一般教材和參考文獻中都有大面積的求解和講解，然而圖乘法在應用中的實質并沒有很明確地分析導致學生在具體的計算中常常充滿了困惑并造成計算錯誤。針對學生經常在常規圖乘法計算結構位移時出現的問題，本文通過具體實例分析講解圖乘法的實質，在一定程度上糾正學生在計算中導致的錯誤。

　　1 圖乘法的本質分析

　　1.1圖乘法的公式及使用條件

　　圖乘法的計算公式為，大家很熟悉其使用條件[6-9]：

　　(1)等剛度直桿;

　　(2)彎矩圖中至少有一幅彎矩圖為直線圖;

　　(3)豎標yc應取自彎矩圖為直線圖中;

　　(4)w和yc若取在桿軸線同側則乘積為正，反之為負;

　　(5)當圖乘法的適用條件不滿足時，拱、曲桿結構和連續變截面的結構只能通過積分的方式求解;當抗彎剛度為分段常數時或者兩彎矩圖非一條直線時，應分段圖乘再疊加。

　　1.2實例分析圖乘法的實質

　　應用中除了明確上面這些基本知識，常常忽視了圖乘法的本質是疊加法，在具體的計算中本著疊加法的想法圖乘法就顯得思路清晰了很多。下文通過實例分析圖乘法的本質：用圖乘法求解下列靜定剛架截面A的豎向位移和截面B的豎向位移。

　　1.2.1 求解截面A的豎向位移(圖1)

　　(1)方法一。

　　A截面的豎直位移為，方向如圖中虛擬力的方向。

　　方法一圖乘AC段時直接用圖4的拋物線彎矩圖和圖3的三角形彎矩圖進行圖乘：拋物線計算面積，在三角形彎矩圖中找二次拋物線的形心位置對應到三角形彎矩圖的豎標值。圖乘CE段時用圖2的矩形彎矩圖和圖3的矩形彎矩圖進行圖乘：圖2的矩形彎矩圖計算面積，在圖3的矩形彎矩圖中找圖2的矩形彎矩圖的形心位置對應的豎標值;也可以圖3的矩形彎矩圖計算面積，在圖2的矩形彎矩圖中找圖3的矩形彎矩圖的形心位置對應的豎標值。

　　(2)方法二。

　　A截面的豎直位移為，方向如圖中虛擬力的方向。

　　方法二圖乘AC段時用疊加法將圖5中的彎曲圖分解為一個三角形ACD彎矩圖和拋物線(圖7)彎矩圖分別與圖6中三角形彎矩圖進行圖乘：三角形ACD彎矩圖和拋物線(圖7)彎矩圖分別計算其面積，在圖6三角形彎矩圖中分別找三角形ACD彎矩圖和拋物線(圖7)彎矩圖的形心位置對應到圖6三角形彎矩圖中的豎標值。圖乘CE段時用圖5的矩形彎矩圖和圖6的矩形彎矩圖進行圖乘：圖5的矩形彎矩圖計算面積，在圖6的矩形彎矩圖中找圖5的矩形彎矩圖的形心位置對應的豎標值;也可以圖6的矩形彎矩圖計算面積，在圖5的矩形彎矩圖中找圖6的矩形彎矩圖的形心位置對應的豎標值。

　　方法二中圖乘AC段時實質上應用了疊加法畫AC段彎矩圖的原理：先確定A、C兩個端截面的彎矩值，再虛線相連A、C兩端的彎矩值，最后在虛線上或虛線下疊加相應的拋物線如圖7所示，則該拋物線與軸線所畫圖線即為最后的彎矩圖。因此，圖乘法實質上應用疊加法的想法先在圖5中三角形彎矩圖跟圖6彎矩圖圖乘接著減去圖5中拋物線彎矩圖跟圖6圖乘的結果。

　　1.2.2求解截面B的豎向位移(圖8)

　　B截面的豎直位移為，方向如圖中虛擬力的方向。

　　因為虛擬狀態下AB段沒有彎矩圖，因此圖乘法過程中圖乘AC段彎矩圖時只考慮BC段的彎矩圖圖乘結果：疊加法先確定出C、B兩截面的彎矩值接著在虛線下疊加相應拋物線則拋物線與軸線BC所圍圖線為最后的彎矩圖。按照疊加法實質，圖乘CB段時圖10a圖彎矩圖分解為圖10b和圖10c(實質上是圖7二次標準拋物線彎矩圖)，故該段圖乘時將圖10b和圖10c的彎矩圖分別與圖9中CB段的彎矩圖進行圖乘求代數和。圖乘CE段時用圖9的矩形彎矩圖和圖10的矩形彎矩圖進行圖乘：圖9的矩形彎矩圖計算面積，在圖10的矩形彎矩圖中找圖9的矩形彎矩圖的形心位置對應的豎標值;也可以圖10的矩形彎矩圖計算面積，在圖9的矩形彎矩圖中找圖10的矩形彎矩圖的形心位置對應的豎標值。

　　2 結論

　　本文闡釋的圖乘法實質是應用了疊加法的原理：先用兩端彎矩值確定的彎矩圖圖乘接著減去(或者加上)標準拋物線彎矩圖圖乘的結果。學生掌握了圖乘法的本質就可以很準確地用圖乘法進行位移計算，從而避免很多錯誤的發生。

　　參考文獻

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