高等數學作為高等學校一門重要的基礎學科、一門各學科都要使用的精確的科學語言,對學生后繼課程的學習及思維素質的培養起著重要的作用[1]。但由于高等數學十分抽象,長期以來對于該課程的學習,學生普遍感到非常困難。數學教育的重點是要培養學生用數學的理論方法解決實際問題的能力,但傳統的教學模式比較注重理論性的學習,缺乏實踐的動手操作能力的訓練,無法讓學生學到的數學理論和方法用于實際的問題中,甚至不知道這些理論有什么用。

Mathematica是一種數學分析型的軟件,以符號計算見長,也具有高精度的數值計算功能和強大的圖形功能。

它將計算、可視化、程序設計融合到一個簡單易用的交互式工作環境中。據wolfram公司聲稱,僅在美國就有十幾萬人在使用該軟件解決、研究和計算工程等領域的大量問題。

為了提高學生學習數學的積極性、實踐能力和創新能力,開設數學實驗就顯得非常有必要,而Mathematica是數學實驗最常用的軟件之一。

1　Mathematica在高等數學課程教學中的應用

Mathematica軟件功能齊全、輸入簡潔、運算快、精度高,是機械工業部推薦的工程應用軟件。在高等數學的教學中借助Mathematica軟件有助于學生更加直觀地理解高等數學中的抽象概念、空間幾何圖形,并且有助于學生在今后工程設計、生產管理、經濟金融中解決計算問題。

基于Mathematica軟件的高等數學實驗課的開設,可以培養學生的實踐能力和創新能力,基于Mathematica的基本操作,可以幫助學生在實踐的基礎上進行創新。

1.1符號運算的應用

計算函數的極限、一元和多元函數的微積分、不定積分、傅立葉級數等是高等數學的重要內容,但在這以前,計算機只能作數值計算,不能作符號運算。

第一,高等數學中的許多概念、定理之間存在著本質的聯系,通過這些概念、定理的實際應用,可以加深對知識的理解。

例如,導數的應用方面,我們常用來判斷一個函數的單調性和凹凸性。而借助Mathematica軟件的符號運算,我們通過幾條簡單的命令就能夠實現判斷函數單調性和凹凸性,使學生理解、掌握數學理論的同時,又能簡單、迅速地計算出復雜的數學運算結果。

例1　判斷函數y=2x3-6x2-18x+7的單調區間和凹凸區間。

我們知道,在高等數學中,通過函數的一階導數的符號可以判斷函數的單調性,二階導數的符號可以判斷函數的凹凸性。根據這個原理,我們利用Mathematica求函數導數、求不等式的系統函數D[],InequalitySolve[]來判斷函數的單調區間和凹凸區間。

第二,隱函數的顯化有時是困難的,甚至是不可能的。但在實際問題中,有時需要計算隱函數的導數,因此,我們希望有一種方法,不管隱函數能否顯化,都能直接由方程算出它所確定的隱函數的導數來。雖然Mathematica并沒有直接提供隱函數求導的內部函數,但我們可以根據求函數的微分、解方程或方程組的內部函數Dt[],Solve[]來求隱函數的導數。

1.2繪圖功能的應用

Mathematica軟件可以利用多種格式繪出函數的平面、立體圖像,使抽象的概念可視化。在高等數學中的很多內容都比較抽象,學生理解起來比較困難。而借助直觀的幾何圖形,可以幫助學生建立起空間概念,準確的了解抽象的概念,使高等數學的教學變得更加形象生動。

第一,平面圖像。

對于前面所述函數的單調性和凹凸性,我們可以繪出函數的一階、二階導數來更加直觀的了解函數的幾何特性。

高等數學中定積分的一個重要應用就是求平面區域的面積。一般過程是首先解方程組得兩曲線的交點坐標,由此確定積分的上下限;其次作圖觀察;最后判斷區域類型,以選擇積分變量。

第二,立體圖像。

Mathematica可以繪制三維空間的幾何圖形,以便于學生理解空間的概念。不僅能夠進行一般曲面作圖,而且可以繪制參數曲線、參數曲面。

2　教學中對Mathematica應注意的問題

雖然將Mathematica應用在高等數學教學中有著積極的意義,通過Mathematica的高等數學實驗,學生能在理解、掌握數學理論知識的同時,又能簡單、迅速地計算出復雜的數學運算結果,而不必考慮實現的過程,有助于提高非數學專業學生利用數學求解實際問題的能力。但是在使用Mathematica軟件進行數學實驗的過程中還有一些問題需要注意:

2.1　在實驗教學中提高學生的實踐能力

數學實驗不僅僅要教會學生如何利用數學軟件來進行計算、畫圖,實驗教學強調的是訓練學生將實際問題和數學聯系起來,讓學生根據實驗的目的分析問題,根據問題中的已知條件和要求的結果,歸納數學規律,然后在獨自思考的基礎上,提出分析問題、解決問題的方法,制定實驗的方案。

2.2　在實驗教學中提高學生的創新精神

在數學實驗的綜合性實驗中,大多問題是沒有現成的答案,沒有現成的模式的,要靠學生充分發揮自己的創造性去分析問題,而如何去解決這個問題,同樣要求學生充分發揮自己的創造性。通過數學實驗培養學生的創新精神,使得學生將理論與實踐有機結合起來,使學生的探索能力和創新能力都得到培養和提高。

2.3　加強實驗教學與理論教學的聯系

我們開設基于Mathematica軟件的數學實驗,決不是要降低對高等數學理論學習的要求,而是要求學生在掌握數學理論知識的同時,加強將理論知識與實際問題的聯系。要培養學生理論與實踐相結合,運用數學的知識和方法來解決實際問題的能力,開展數學實驗教學就是將所學的知識應用于實際問題。