考慮非線性因素的飛機防滑剎車系統控制

　　摘要: 飛機的剎車過程存在較強的非線性, 目前廣泛應用的速度差加壓力偏調式pressure-bias-modulated (PBM) 控制律難以實現對飛機剎車的高性能控制. 本文提出了一種考慮飛機剎車過程中非線性因素的滑模控制律. 首先建立考慮輪胎跑道非線性和剎車盤摩擦系數非線性的的飛機防滑剎車系統非線性模型, 然后設計了滑模觀測器對飛機速度進行估計, 并在此基礎上設計了一種滑模變結構控制律, 最后基于模糊理論對滑模控制律進行優化, 從而抑制控制器的抖振. 仿真結果表明, 基于模糊指數趨近律的滑模變結構控制律控制效果優于傳統”PD+PBM” 控制律, 抑制控制器輸出抖振效果良好, 能夠很好的適應剎車過程中的復雜非線性因素, 剎車效率高, 控制方法合理有效.

　　關鍵詞: 非線性控制; 剎車系統; 滑模變結構控制; 模糊控制; 滑移率

　　陳希遠; 王浩天; 嚴小雙; 楊建忠， 控制理論與應用 發表時間：2021-11-18

　　1 引言

　　飛機防滑剎車系統(簡稱ABS) 是確保飛機安全著陸的重要的飛機子系統, 并且隨著航空事業的發展, 飛機正朝著高速度、大噸位的方向不斷發展, 使用穩定和高效的防滑剎車控制策略對提高飛機地面安全性有著重要意義[1] . 飛機的剎車過程是一個具有強非線性的過程, 例如跑道條件的變化, 剎車環境的變化等[2] , 且飛機著陸時間很短, 大約為20秒, 從國內外的統計數據看, 著陸剎車階段發生的事故在各種飛機安全事故中的占比高達49.1%[3] , 對飛機防滑剎車系統的設計提出了嚴峻的挑戰.

　　飛機防滑剎車系統始于二十世紀四十年代[4] , 最早期的飛機防滑剎車系統是俄羅斯的慣性防滑剎車系統, 其最大的優點是可靠性高, 但因其也存在剎車效率低、剎車不平穩、剎車距離長等缺點, 歐美開始研制更高效的電子防滑剎車系統, 并形成了基于開關式、速度差式、滑移速度和滑移率式四種主要的防滑剎車方式[5–10] . 現行裝機最為廣泛的是PD+PBM 控制律, 是一種速度差式的控制律, 其具有安全可靠的優點, 但是PD+PBM是一種設定參考速度固定減速率和相應的門限值, 再根據機輪速度和參考速度的速度差與門限值的比較結果來調節防滑電流的控制律, 這種設定固定減速率和門限值的方式難以適應剎車過程當中的非線性因素, 會導致地面結合力利用不充分, 低速打滑等缺點[11] , 難以適應現在對飛機防滑剎車系統發展的高性能要求. 針對傳統”PD+PBM” 控制律中存在的低速打滑以及地面結合力利用不充分的問題, 學者們已經開展了很多研究, 劉文勝等人提出了一種結合免疫PID控制和模糊控制的新型控制策略[12] , 羅林提出了遺傳算法優化的模糊神經網絡PID控制策略[13] , 付龍飛等人提出一種基于反饋線性化的防滑剎車滑模變結構控制律[14] , 陳潔等人提出了模糊PI+ 模糊ID控制律的設計方法[15] . 在這些研究中, 將神經網絡、反饋線性化、滑模變結構控制等非線性控制理論運用于飛機防滑剎車系統的控制律設計中, 相較于傳統的PD+PBM控制律, 能更好的適應飛機防滑剎車系統的非線性特性, 提高了剎車效率, 改善了控制品質. 然而, 在這些研究中, 通常假設飛機速度已知, 但是實際飛機速度是無法直接測量的. 另一方面, 上述研究中對于剎車系統中非線性因素大多進行了近似線性化處理, 所設計的控制律無法很好地適用于真實飛機剎車系統.

　　輪胎-跑道間結合系數的變化會導致地面結合力的變化, 剎車盤摩擦系數的變化會引起剎車力矩發生改變, 因此這兩種非線性因素會影響飛機防滑剎車系統的剎車性能, 也是飛機防滑剎車系統的主要非線性來源[16] , 因此本文首先建立了飛機防滑剎車系統動力學模型, 在此基礎上建立了輪胎-跑道非線性模型與剎車盤摩擦系數非線性模型, 形成了飛機防滑剎車系統的非線性整體模型; 針對飛機速度無法直接測量的問題構造了飛機速度的滑模觀測器, 用觀測所得的飛機速度與傳感器測量所得的機輪角速度計算滑移率;運用滑模變結構控制理論設計了滑移率式的飛機防滑剎車系統控制律;針對滑模控制律中存在控制器輸出抖振問題運用模糊理論進行優化以抑制抖振, 并通過仿真驗證了控制律的效果.

　　2 系統建模

　　2.1 飛機著陸滑跑動力學建模

　　2.1.1 飛機機體動力學建模

　　本文僅考慮飛機的縱向、垂直和俯仰運動, 并做出以下合理假設[6]:

　　(1) 將剎車控制簡化為單機輪、單通道的控制.

　　(2) 將飛機的機身和起落架視做理想剛體, 不考慮飛機機體出現的彈性變形.

　　(3) 不考慮側風對于飛機防滑剎車系統的影響.

　　(4) 以地面跑道作為慣性坐標系.

　　(5) 只考慮輪胎的垂直方向形變.

　　根據以上假設, 則飛機的地面滑跑受力分析圖如圖1所示:

　　飛機著陸后在地面滑跑的受力情況如圖1所示, 飛機在縱向受到的力有發動機推力T0、空氣阻力Fx、阻力傘阻力FP、前機輪和主機輪所受到的地面結合力f1和f2, 飛機在垂直方向所受到的力有重力G、飛機 升 力FY 和 前 機 輪 和 主 機 輪 所 受 到 的 支 持力N1和N2, a為飛機重心到主輪中心的水平距離, b為飛機重心到前輪中心的水平距離, hp為阻力傘懸掛點距飛機水平軸上移距離, ht為發動機推力線距飛機水平軸下移距離, I為飛機主機輪轉動慣量, θ 為飛機俯仰角, VX為飛機的縱向滑跑速度, VY 為飛機垂直方向速度, kv為發動機推力系數.

　　則根據剛體定軸轉動定律和牛頓第二定律可得式(1): ????????? MV˙X = T0 + kvVx − FX − Fp − f1 − f2, MV˙ Y = G − FY − N1 − N2, I ¨θ = N2b cos θ + Fphp − N1a cos θ+ (T0 + kvVx) ht − f1h − f2h, (1) 式(1)中: FX = ρCdSVX 2 /2、FP = ρCpSpVX 2 /2、FY = ρCY SVX 2 /2、f1 = u · N1、f2 = uf · N2. Cd 為 空 氣阻力系數、Cp 為阻力傘阻力系數、CY 為飛機升力系數、S 為飛機機翼面積、Sp 為阻力傘面積、uf 為不受剎的前機輪與跑道的結合系數、u 為受剎的主機輪與地面間的結合系數.

　　化簡整理后，可得飛機縱向速度的表達式(2). • VX = T0 + kvVX M − ρCdSVX 2 2M − ρCpSpVX 2 2M − u[(b − ufh)(g − ρCLSVX 2 2M ) + ht T0+kvVX 2 M + a + b + (u − uf )h hp ρCpSpVX 2 2M ] a + b + (u − uf )h − uf [(a + uh)(g − ρCLSVX 2 2M ) − ht T0+kvVX M − a + b + (u − uf )h hp ρCpSpVX 2 2M ] a + b + (u − uf )h , (2) 在式(2)中，結合系數u隨飛機狀態以及跑道條件的變化呈現非線性變化, 因此需建立其非線性模型(2.2節).

　　2.1.2 飛機機輪動力學建模

　　飛機降落后進行地面滑跑剎車的過程中, 剎車力矩作用在主機輪上, 主機輪剎車過程中運動方程可以描述如下: Jω˙ = Rvbf1 − KbPb, (3) 式中, J為單個機輪的轉動慣量、ω和ω˙ 為飛機機輪的角速度與角加速度、Rvb為飛機滑跑時機輪的滾動半徑、Kb為剎車盤摩擦系數, Pb為剎車壓力, 即單個機輪的轉動慣量與機輪角加速度的乘積等于主機輪上所受到的剎車力矩與結合力矩之差. 進一步整理化簡, 可得: ω˙ = Rvbu [ (b − ufh) mg − ρCLSVX 2 2 ] nJ [a + b + (u − uf ) h] + Rvbu [ ht (T0 + kvx1) + hp ρCpSpVX 2 2 ] nJ [a + b + (u − uf ) h] − Kb J Pb, (4) 在飛機機輪動力學模型式(4)中, 剎車盤摩擦系數Kb隨飛機狀態的改變呈非線性變化, 剎車盤摩擦系數非線性模型見2.3節.

　　2.2 輪胎跑道非線性模型

　　輪胎與跑道之間的結合系數隨著飛機剎車的過程呈現復雜的非線性變化特征, 與跑道條件和飛機狀態都相關. 飛機的剎車系統工作時, 當輪胎與跑道之間的結合系數達到峰值時, 輪胎與跑道間結合力最大, 剎車距離最短, 剎車效率最高. 所以輪胎-跑道結合系數對于飛機防滑剎車系統的剎車性能具有重要的影響. 主輪結合系數受到多種因素影響, 其中跑道條件與飛機的滑移率為主要的影響因素. 主輪結合系數等于主輪結合力與主輪所受地面支持力的比值, 即µ(λ, ?) = (F(λ, ?)/N1). 式中λ為飛機滑移率, 其定義為λ = (Vx − ωRvb)/Vx, ?代表跑道條件, 其取值為1時代表干跑道, 取值為1.25時代表濕跑道, 取值為2.5時代表冰跑道[18] , µ(λ, ?)即為式(2)中受飛機滑移率和跑道條件共同影響的結合系數, F(λ, ?)為主機輪所受到的地面結合力.

　　本文采用Lugre模型來描述輪胎-跑道之間的摩擦特性. Lugre模型的理論解釋簡單, 參數的物理意義明確, 并且大量研究和應用成果顯示Lugre模型是所有理論模型中表現最好的一個, 特別在對脫離摩擦力和摩擦滯后現象方面的建模具有其他模型無法比擬的優勢[1] . 分布式Lugre摩擦模型如圖2所示:

　　其表達式如式(5)-式(7)所示[18]: dδz dt (ζ, t) = −vr − ? σ0|vr| g(vr) δz, (5) F = ∫ L 0 δF (ζ, t)dζ, (6) δF = (σ0δz + σ1δz˙ − σ2vr)δN1, (7) 式(5)至(7)中, F為輪胎與跑道間結合力, z代表內部摩擦狀態變量, σ0為剛度系數, σ1為衰減系數, 考慮到粘滯摩擦的情況下引入參數σ2, 此參數是與相對速度成正比的系數. ζ代表水平軸, 其導數即為機輪的線速 度−Rvbω. 而 函 數g(vr)是 為 了 捕 捉與 方 向 相 關 的 動 態 行 為, 通常 形 式 為g(vr) = uc + (us − uc)e √ vr/vs , 其中vr = Vx − ω · Rvb, uc為標準干摩擦系數, us是靜摩擦系數, vs是Stribeck相對速度, ?代表跑道條件, 具體的參數數值見表1.

　　機滑移率之間非線性關系的數學模型: µ (λ, ?) = g(λ) ? ( 1 − γ g(λ)(λ−1) ?σ0Lλ ( e ?σ0Lλ g(λ)(λ−1) − 1 )) +σ2Rvbω λ λ−1 (8) 其 中:γ = 1 + ?σ1Rvbωλ/g(λ), g(λ) = uc + (us − uc)e √ Rvbωλ/vs . 由 式(8)分 析 可 得, 結 合 系 數µ(λ, θ)隨 跑 道 條件?和 滑 移 率λ共 同 影 響, 當 跑 道 條 件?固 定 時, µ(λ, θ)存在一個極值, 在該極值下飛機的剎車效率最高, 而µ(λ, θ)到達極值時對應的飛機滑移率即為最佳滑移率λd. 由于滑移率是機輪角速度和飛機速度的函數, 因此, 只要通過控制飛機機輪角速度和飛機速度, 使得滑移率保持在最佳滑移率上λd, 則整個剎車過程的剎車效率最優. 因此, 通過建立輪胎-跑道非線性模型, 生成了非線性系統的控制目標, 即基于最佳滑移率λd的目標跟蹤控制.

　　2.3 剎車盤摩擦系數模型

　　在整個剎車過程, 大約有70%∼90%的飛機動能會被剎車盤所吸收, 會導致剎車盤溫度快速上升, 而溫度的快速上升會導致剎車盤摩擦系數的呈現強非線性變化, 即式(4)中的Kb, 而剎車盤的摩擦系數變化會引起飛機剎車力矩發生改變進而影響飛機防滑剎車系統性能, 因此這也是飛機防滑剎車系統中的非線性主要來源之一.

　　根據文獻[17–19], 建立剎車盤摩擦生熱、對流散熱模型, 并計算剎車盤的溫升, 并在此基礎上計算剎車盤的摩擦系數隨溫度的非線性變化.

　　機滑移率之間非線性關系的數學模型: µ (λ, ?) = g(λ) ? ( 1 − γ g(λ)(λ−1) ?σ0Lλ ( e ?σ0Lλ g(λ)(λ−1) − 1 )) +σ2Rvbω λ λ−1 (8) 其 中:γ = 1 + ?σ1Rvbωλ/g(λ), g(λ) = uc + (us − uc)e √ Rvbωλ/vs . 由 式(8)分 析 可 得, 結 合 系 數µ(λ, θ)隨 跑 道 條件?和 滑 移 率λ共 同 影 響, 當 跑 道 條 件?固 定 時, µ(λ, θ)存在一個極值, 在該極值下飛機的剎車效率最高, 而µ(λ, θ)到達極值時對應的飛機滑移率即為最佳滑移率λd. 由于滑移率是機輪角速度和飛機速度的函數, 因此, 只要通過控制飛機機輪角速度和飛機速度, 使得滑移率保持在最佳滑移率上λd, 則整個剎車過程的剎車效率最優. 因此, 通過建立輪胎-跑道非線性模型, 生成了非線性系統的控制目標, 即基于最佳滑移率λd的目標跟蹤控制.

　　2.3 剎車盤摩擦系數模型

　　在整個剎車過程, 大約有70%∼90%的飛機動能會被剎車盤所吸收, 會導致剎車盤溫度快速上升, 而溫度的快速上升會導致剎車盤摩擦系數的呈現強非線性變化, 即式(4)中的Kb, 而剎車盤的摩擦系數變化會引起飛機剎車力矩發生改變進而影響飛機防滑剎車系統性能, 因此這也是飛機防滑剎車系統中的非線性主要來源之一. 根據文獻[17–19], 建立剎車盤摩擦生熱、對流散熱模型, 并計算剎車盤的溫升, 并在此基礎上計算剎車盤的摩擦系數隨溫度的非線性變化.

　　在剎車過程中, 剎車盤的摩擦系數隨著剎車盤的溫度升高先升高再下降, 溫度對于剎車盤摩擦系數Kb的影響如下式所示: kb = { a1T 2 + b1T + c1, 0 < T < T1 a2T 2 + b2T + c2, T1 < T (9)圖3為剎車盤摩擦系數隨溫度的變化規律, 在干跑道工況下, 剎車盤摩擦系數隨著剎車盤溫度的升高先增大再減小, 在整個剎車過程中, 剎車盤摩擦系數隨溫度的變化呈現出明顯的非線性特征.

　　3 控制律的設計

　　3.1 控制目標的獲取

　　在2.2節之中, 已經利用分布式Lugre模型開發出靜態模型來表示路面結合系數與飛機滑移率和路面條件之間的非線性關系, 即式(8). 已知跑道條件的情況 下, 利 用 式(8)可 以 計 算 在 不 同 飛 機 速 度 下的µ(λ, θ)的極值即最大結合系數µmax, 其所對應的滑移率λ就是期望滑移率λd. 滑移率的計算表達式如式(10)所示: λ = Vx − ωRvb Vx , (10) 當飛機輪胎的工作狀態處于期望滑移率λd時, 機輪與跑道之間的結合系數處于峰值, 則飛機防滑剎車系統的剎車效率最高, 故飛機防滑剎車控制系統的目標就是使得飛機的滑移率λ處于期望滑移率λd [1] . 由式(10)可知滑移率的計算需要飛機速度Vx以及飛機受剎機輪的機輪角速度ω, 飛機上裝有機輪角速度傳感器, 而飛機速度則是不易獲取的, 因此需要設計飛機速度觀測器以觀測飛機速度計算滑移率.

　　3.2 滑模觀測器的設計

　　試驗已經證實, 基于滑移率式的防滑剎車系統控制律具有較高的剎車效率, 以往基于滑移率的控制方式中, 飛機速度通常用自由滾動的前機輪線速度近似, 其精度難以滿足飛機防滑剎車系統的高性能要求, 本文應用文獻[20]、[21]提出的滑模觀測器理論設計一種飛機縱向速度的滑模觀測器來觀測飛機速度以進行滑移率的計算.

　　把建立的飛機防滑剎車系統寫成式(11)表現的系統形式, 則有飛機防滑剎車系統的系統模型為: x˙ 1 = f1(x, u), x˙ 2 = f2(x, u), y = x1, (11) 式中, x1為機輪角速度ω, x2為飛機縱向速度Vx，由式(2)、(4)可得: f1 (x, u) = Rvbu [ (b − ufh) mg − ρCLSx2 2 2 ] nJ [a + b + (u − uf ) h] + Rvbu [ ht (T0 + kvx2) + hp ρCpSpx2 2 2 ] nJ [a + b + (u − uf ) h] − Kb J Pb,圖4是在干跑道條件下飛機速度的觀測效果4, 算例中飛機落地初始速度為72m/s, 滑模觀測器飛機速度的初始設定速度為68m/s. 可以看出, 滑模觀測器可以實現對飛機速度的準確觀測.

　　3.3 滑模控制律的設計

　　采用指數趨近律, 則有: • s(x) = − εsign(s) − ks. 其中ε > 0, k > 0, 其中, ε為指數趨近律中等速趨近項的系數, 而k是指數趨近律中指數趨近律項的系數. 由式(24)可以反解得控制輸入: u = (1−λd)J Rvbkb (−f2(x1, xˆ2) + Rvb 1−λd f1(x1, xˆ2)+ εsign(s) + ks). (25) 運用李雅普諾夫第二方法證明, 對于系統(19), 在控制輸入(25)的作用下, 滑動模態存在且可達.

　　3.4 利用模糊理論對于滑模控制進行優化

　　由 于 指 數 趨 近律 • s(x) = −εsign(s) − ks (ε > 0, k > 0)中的符號函數會給系統帶來抖陣, 想要有效的抑制高頻顫動, 必須取較小的ε, 但是較小的ε又會使得飛機防滑剎車系統進入滑動模態的時間增長, 則會削弱滑模控制的動態品質. 與此同時, 由(24)式可以看出, 飛機防滑剎車系統狀態空間模型的控制輸入u為剎車壓力, 增大k值雖然可以加快趨近速度, 但是當|s|較大時會增大所需要的剎車壓力. 為了解決在飛機防滑剎車系統上應用滑模控制時存在的上述問題, 本文設計了模糊指數趨近滑模控制律, 以便使得到達段的控制品質得到提高, 模糊指數趨近律為:

　　對于設計的模糊指數趨近律中和的選取應遵從以下三個原則: (1) θ1ε和θ2k的選取不應改變原指數趨近律的收斂性, 即需要仍然滿足滑模到達條件. (2) θ1ε對應于原指數趨近律的等速趨近項, 等速趨近項用于系統的狀態指數收斂到滑模面附近時仍然保持一定速度到達滑模面, 并且在|s|較小時不宜取的過大, 過大會造成系統抖振嚴重. (3) θ2k對應于原指數趨近律的指數趨近項, 增大此項可加快收斂速度并且削弱抖振, 但過大的θ2k會造成過大的剎車壓力輸出, 因此在|s|較大時θ2k應取較小的值.

　　θ1和θ2為模糊指數趨近律的上限值, θ1ε和θ2k的最終取值由ε和k來最終確定. 為了不改變原指數趨近律的收斂性, ε的取值范圍是(-1, 1), 且當|s|大于0時, ε取值為負, |s|小于0時取值為正; k的取范圍為(0, 1). ε和k的具體取值由依據和的選取原則制定模糊規則后所建立的模糊控制器輸出得到.

　　當s < 0時, 可以解得s(t) = ε k + (s0 − ε k )e −kt , 由此可以看出減小ε, 增大k可以加快趨近過程, 并減小抖振. 但是, 由控制律式(2 5)、(26)可以看出, 當|s|較大時, 選擇較大的k就會產生較大的控制器輸出u即剎車壓力, 這是需要避免的. 從以上的定性討論可以得出結論, 在|s|較大時, 應選取較大的ε和較小的k值, 這樣可以在保證具有滿意的滑模趨近速度的同時避免控制器產生過大的控制器輸出u; 而在|s|較小時, 選取較小的ε和較大的k值, 這樣能保證系統具有一定趨近速度到達滑模控制面的同時抑制控制器的抖振現象.

　　以sn = s作為模糊控制器的輸入, ε和k分別為模糊 控 制 器 的 輸 出. 定 義ε和k的 語 言 值 為: {P B, PM, P S, Z, NS, NM, NB} .分別代表正大, 正 中, 正 小, 零, 負 小, 負 中, 負 大. k的 語 言 值 為: {P S, PM, P B}, 分 別 代 表 正 小, 正 中, 正 大. 其中sn論域為[-30,30], 由于在式(26)中, θ1和θ2為模糊控制量的上限值, 并且為了保證模糊指數趨近律與指數趨近律的正負號相同, 故定ε的論域為[−1,1], k的隸屬函數論域為[0,1].

　　從圖6-7中仿真結果可以看出, 由于飛機剎車是一個具有強非線性的過程, 在考慮了兩種飛機剎車過程中主要的非線性, 即輪胎-跑道結合系數非線性和剎車盤摩擦系數的非線性的情況下, 在干跑道、濕跑道兩種工況下, PD+PBM 這種設置固定門限值和固定減速率的飛機防滑剎車系統控制律難以適應剎車過程中的非線性因素, 難以實現對最佳滑移率的跟蹤, 剎車效率較低, 在剎車過程末尾的低速段, 出現了較為明顯的低速打滑現象;而本文通過建立輪胎-跑道非線性模型, 從而獲取剎車過程中的滑移率控制目標, 所設計的FSMC控制律能夠適應剎車過程中的非線性因素, 從而實現對最佳滑移率的目標跟蹤控制, 在整個剎車過程中, 能夠始終將飛機保持在最佳滑移率上, 能夠獲得最大的剎車效率。相比于現行使用最為廣泛應用的PD+PBM 控制律, 設計的FSMC 控制律具有更好的魯棒性, 剎車時間和剎車距離更短, 提高了剎車效率, 有效解決了PD+PBM控制律中存在的低速打滑現象.

　　5 結論

　　本文建立了飛機防滑剎車系統的整體非線性模型并進行了仿真, 形成以下結論:

　　(1)構造的滑模觀測器對于飛機速度具有快速良好的觀測性能;

　　(2)運用模糊理論能有效的抑制滑模控制律中固有的控制器輸出的高頻抖振現象;

　　(3)在對干、濕跑道兩種工況的仿真結果表明, 所設計的FSMC 控制律能夠很好的適應飛機剎車過程中的非線性因素, 最大程度的利用跑道的結合力;

　　(4)設計的FSMC控制律解決了傳統的PD+PBM 控制律中存在的低速打滑, 魯棒性差的問題, 設計的控制律合理有效, 剎車效率高.