動態(tài)調整成長方式的郊狼優(yōu)化算法及其應用

　　摘要：針對郊狼優(yōu)化算法隨著迭代運行種群多樣性降低、收斂速度變慢、易陷入局部最優(yōu)及在求解約束優(yōu)化問題時難以獲得可行解的問題，提出動態(tài)調整成長方式的郊狼優(yōu)化算法。首先在狼群進化中引入變異交叉策略，增強種群多樣性;然后在郊狼成長策略中加入全局最優(yōu)個體指導搜索，使得每個子種群中的個體從不同的方向快速逼近最優(yōu)解位置，并根據種群中個體相似度對郊狼位置更新方式進行調整，平衡算法的全局探索與局部開發(fā)能力。在求解約束優(yōu)化問題時，利用一種自適應約束處理方法構建新的適應度函數，協(xié)調優(yōu)化目標和約束違反度。對 CEC2006 提出的 22 個測試函數和三個工程設計問題進行仿真。結果表明相比對比算法，其收斂精度和穩(wěn)定性都具有較高競爭性，可有效求解復雜優(yōu)化問題。

　　嚴逍亞; 王振雷; 王昕， 計算機工程 發(fā)表時間：2021-10-13

　　關鍵詞：郊狼優(yōu)化算法;變異交叉;約束處理;測試函數;工程優(yōu)化

　　0 概述

　　在科學研究和工程應用中，來自不同領域亟待解決的優(yōu)化問題越來越多，它們大多為具有不確定性、多峰值、多模態(tài)特性的復雜優(yōu)化問題。隨著優(yōu)化問題的復雜性增加，傳統(tǒng)的數學方法很難有效地處理此類復雜優(yōu)化問題。此外，很多實際應用中的優(yōu)化問題都需要在滿足不同類型的約束條件下，進一步追求解的質量，因為各種各樣約束條件的存在，縮減了問題的可行區(qū)域，搜索過程變得復雜，這更增加了計算的復雜性和求解的難度。

　　對比經典的數學優(yōu)化方法，智能算法具有結構簡單、適用性強、參數較少、魯棒性強等優(yōu)點，這些進化算法往往同合適的約束處理方法結合，從而更有效地處理約束，成為優(yōu)化領域研究發(fā)展的趨勢之一。如粒子群算法[1,2]、差分進化算法[3]、教學優(yōu)化算法[4,5]、人工蜂群算法[6]、鯨魚優(yōu)化算法[7]和水波優(yōu)化算法[8]等。進化算法與約束處理方法結合方式多樣，如文獻[4]針對算法尋優(yōu)時出現(xiàn)的不同情況分別調用合適的約束處理方法，從而提高了對約束條件處理的有效性。文獻[9]提出一種由學習和進化兩個階段構成的約束進化算法。學習階段用于挖掘約束與目標函數之間的相關性，進化階段利用相關性通過加權更新方法和存檔替換機制進行約束優(yōu)化。文獻[10]設計了一種兩階段約束進化方法，通過當前種群的狀態(tài)調整適應度評價策略，使種群在一個階段中跨越不可行區(qū)到達可行域，在另一個階段沿著可行邊界擴散，以自適應地平衡目標和約束條件。雖然許多群智能算法已在求解約束優(yōu)化領域取得了較好的表現(xiàn)，但尋優(yōu)精度、穩(wěn)定性都有進一步提升的空間。因此，設計尋優(yōu)精度更高、穩(wěn)定性更高的算法依然是研究的熱點。

　　郊狼優(yōu)化算法(Coyote Optimization Algorithm， COA)為 J.Pierezan[11]教授在 2018 年提出的一種模擬郊狼成長、生死等現(xiàn)象的新型群智能算法，其獨特的算法結構為優(yōu)化過程中探索與開發(fā)的平衡提供了新的機制，故不少學者對其進行研究，并應用到電力系統(tǒng)和物聯(lián)網等領域[12-16]。文獻[17]對基礎 COA 算法進行了改進，利用全局最優(yōu)指導最差郊狼更新，同時加入了一種隨機擾動操作，來增加種群的多樣性，使算法能更大范圍的進行全局尋優(yōu)。文獻[18] 提出一種相互作用的文化趨勢，使其值受到子種群個體彼此間作用的影響，從而增強了算法的全局搜索能力，將改進后的郊狼優(yōu)化算法應用到了醫(yī)學圖像增強問題上，獲得了滿意的表現(xiàn)。文獻[19]用組外貪心策略取代原 COA 算法的組內貪心策略，提高了算法的運行速度，同時通過郊狼間信息共享的方式，增加了種群多樣性。Juliano Pierezan等人[20]將 COA 和文化算法聯(lián)系起來，提出了文化郊狼算法，改善了 COA 算法在探測與開發(fā)之間的平衡。

　　雖然 COA 算法貢獻了不同的算法結構和機制來實現(xiàn)優(yōu)化過程中探索和開發(fā)兩者之間的平衡[15]。但是在下列方面還有待提升：a)COA 通過子種群內頭狼和組文化趨勢兩者來指導組內郊狼社會位置更新，雖然增強了算法的開發(fā)能力，但在求解具有多個局部極值的優(yōu)化問題時，子種群中頭狼處于局部最優(yōu)位置的概率大大增加，由于頭狼在搜索中的指導作用，子種群中其余郊狼很容易被頭狼引導至其處于的局部最優(yōu)位置，從而造成算法的早熟收斂。 b)在 COA 算法中，每次迭代時，子種群內郊狼在相同的頭狼和組文化趨勢指導下一直保持著恒定的成長方式，隨著迭代的進行，種群相似度變高，弱化了算法的搜索能力。c)子種群內郊狼的信息共享程度不高，在求解復雜優(yōu)化問題時，全局搜索能力較弱。

　　本文提出一種動態(tài)調整成長方式的郊狼優(yōu)化算法(Coyote Optimization Algorithm with Dynamically Adjusting Growth Mode，DGCOA)。首先，引入變異交叉策略，增強了種群多樣性，然后，提出了一種新的郊狼成長更新方法，該方法不僅加入了全局最優(yōu)個體來指導搜索，并且在新的成長更新策略中，可以根據種群中個體相似度的變化及時對郊狼成長方式進行調整，彌補了基礎 COA 不同個體間信息交互不足的問題，平衡了算法全局探索和局部開發(fā)能力。最后，為提高算法處理約束優(yōu)化問題時的效率，將改進后的 COA 算法與一種自適應約束處理方法相結合，以協(xié)調優(yōu)化目標和約束違反度。

　　1 郊狼優(yōu)化算法

　　1.1 種群初始化并隨機分組

　　在郊狼算法中，解個體被隨機分為 N p 個子種群，每個子種群中包含 Nc 只個體。第 p 個子種群里第 c 只郊狼個體在第 j 維的初始位置可表示為： ( ) , j j j j p c j soc ? lb ? r ? ub ? lb (1)其中， j lb 和 j ub 分別代表第 j 維搜索空間的下限和上限; j r 為[0,1]內的一個隨機數。每只郊狼對環(huán)境的適應度可用目標函數值來表示為: ( ) p c p c fit ? f soc (2)

　　1.2 郊狼成長

　　郊狼成長受到所在子種群的頭狼 alpha 和文化趨勢 p t j cult , 影響： { arg min ( )} , {1,2, , } , , p t c N c p t c p t alpha soc fit soc ? ? c ?(3)???????? ???其它是奇數 2 O O O p,t 1), j 2 N ( p,t ,j 2 N p,t ,j 2 (N 1) , c c c c p t j N cult (4)其中， p t O , 代表郊狼的社會位置排名。二者的影響因子? 1 和? 2 可按下式計算： p t cr p t alpha soc , , 1 1 ? ? ? (5) p t cr p t cult soc , , 2 2 ? ? ? (6)其中， 1 cr 和 2 cr 為在該子種群內任意選擇的兩只郊狼。郊狼新的社會位置可按下式計算： 1 1 2 2 , , new_ soc ? soc ? r ?? ? r ?? p t c p t c (7) 其中， 1 r 和 2 r 為[0,1]內的隨機數。 COA 算法擇優(yōu)選擇對環(huán)境適應度更高的郊狼保存下來，該過程可表示為：???????? p t c p t c p t c p t c p t c p t p t c c soc new fit fit new soc new fit fit soc , , , , 1 , , , 1 _ _ _ (8)

　　1.3 郊狼生死

　　COA 算法用 age N p t c ? , 來表示郊狼的年齡，結合郊狼位置信息和環(huán)境因素影響來產生新狼：?????? ? ?? ?? otherwise otherwise or or 2 , , 1 , , , 2 1 j j s a p t r j j s p t r j p t c R soc rand P P j j soc rand P j j pup (9)其中， 1 r 和 2 r 為在第 p 個群落里任意選擇的兩只郊狼; 1 j 和 2 j 為任意選擇的兩個自變量維度; Ps 為離散概率; Pa 為關聯(lián)概率; R j 為第 j 維自變量取值范圍內的任意數;?[0,1] j rand 是對應第 j 維的隨機數。 Ps 和 Pa 可用公式表示為： PS ?1 D (10)Pa ? (1? Ps )/ 2 (11)其具體出生死亡選擇過程可用算法 1 描述。其中?代表第 p 個子種群內比新出生的小狼適應度低的郊狼;?代表這些郊狼的數目。算法 1 出生死亡選擇行為偽代碼 1.計算? 、 ? 2.if ? ?1 then 3. 新出生的小狼存活，?中唯一的一只郊狼死亡 4.else if ? ?1 then 5. 新出生的小狼存活，?中年齡最大的郊狼死亡 6.else 7. 新出生的小狼存活 8.end if

　　1.4 郊狼被驅離和接納

　　某些郊狼有時會離開原子種群加入到另一個子種群里，此概率可用 Pe 來表示為： 2 Pe 0.005 Nc ? ? (12)

　　2 改進的郊狼優(yōu)化算法

　　2.1 變異交叉策略

　　在 COA 算法中，各個子種群的頭狼和文化趨勢引導著群體向潛力區(qū)域前進。但隨著搜索的迭代進行，種群中的解個體會相互靠近，使得群體的多樣性逐步下降。當所有解個體聚集到一起時，整個種群多樣性不能得到更新，以致算法迭代有效性下降，搜索出現(xiàn)停滯。在這種情況下，可對解個體進行變異操作，在其附近位置產生新解，以此來增加種群多樣性。因此，引入差分進化算法中的變異交叉策略到 COA 算法中，用于提高種群多樣性，減小算法早熟收斂的可能，提高算法收斂精度。

　　首先選取第 c 只郊狼對應的社會位置 p t c soc , 為父體向量，對應的變異向量可用公式表示為： ( ) , , , , 1 2 p t r p t r p t c p t c V ? soc ? F ? soc ? soc (13)

　　其中， 1 r 和 2 r 為在第 p 個子群落里任意選擇的兩只郊狼; p t r p t r soc soc , , 1 2 ? 為差分向量; F 是變異因子，用其對差分向量進行縮放，控制搜索步長，一般在 [0,2] 之內選擇，通常取 0.5，其值的大小決定了種群的分布情況。通過設置 F 在進化過程中的值，可以有效增加候選個體的數量，提高種群多樣性，使種群在全局范圍內進行搜索，增強算法的穩(wěn)定性。

　　利用父體向量和變異向量通過離散雜交產生實驗向量：????? ? ?? otherwise or , , , , , , p t c j j rand p t p t c j c j soc V rand CR j j U (14)其中， j ?1,2,? , D ; rand j 是[1,D]之間的隨機整數; CR?[0,1] 是交叉概率;?[0,1] j rand 是對應于第 j 維的隨機數。

　　通過變異交叉策略產生 Nc 個實驗向量構成實驗種群 p t U , 。合并父體種群 p t soc , 與實驗種群 p t U , 獲得組合子種群 p t p t p t h soc U , , , ? ?，按照下文提出自適應約束處理方法從中選擇 Nc 個較好個體形成更新的子種群 p t soc , 。

　　2.2 新的成長更新策略

　　2.2.1 全局最優(yōu)影響因子

　　在求解約束優(yōu)化問題時，郊狼對環(huán)境的適應度 p t c fit , 不但考慮目標函數值 ( ) p,t c f soc ，還要考慮到約束違反度 ( ) p,t c G soc ?？紤]到約束違反度，當條件 a)或 b)滿足時，說明郊狼 X i 對環(huán)境的適應度優(yōu)于郊狼 X j ，記為 ( ) ( ) i X j fit X ? fit 。 a) ( ) ( ) ( ) ( ) i j i X j G X ? G X ? f X ? f b) ( ) ( ) G Xi ? G X j 在所有郊狼中，對環(huán)境適應度最高的郊狼即為在第 t 次迭代時整個種群的最優(yōu)個體 t Gbest 。故在第 t 次迭代時，整個種群的最優(yōu)個體 t Gbest 可用公式表示為： { arg min } , {1,2, , } , p t p N c p t c t best G soc fit ? ? p ?(15)在 COA 算法中，每個子種群中的郊狼僅通過所在子種群的頭狼 p t alpha , ，以及該子種群的文化趨勢 p t cult , 二者來指導其社會位置的更新，并沒有考慮到整個種群的最優(yōu)位置 t Gbest 對郊狼位置更新的影響。因此，加入整個種群的最優(yōu)個體 t Gbest 的方向信息來改進各個子種群中郊狼的位置更新方式。 t Gbest 對第 p 個子種群內的第 c 只郊狼在第 t 次迭代時位置更新的影響因子? 3 可按下式計算： p t c t Gbest soc , ? 3 ? ? (16)引入全局最優(yōu)引導搜索后，各個子種群中的郊狼各自以更快的收斂速度從不同的方向朝著可行區(qū)域進行靠攏逼近，從而大大加快了 COA 的收斂速度。

　　2.2.2 動態(tài)調整郊狼成長方式

　　由公式(3)可知同一子種群內郊狼在相同的頭狼和文化趨勢與兩頭隨機挑選的郊狼的差值共同指導下保持著恒定的成長機制，而在每次迭代過程中，同一子種群內頭狼和文化趨勢相同，且隨機挑選的郊狼個體相似度無法保證，因此容易使得產生的新解相似度過高，以致于弱化算法的搜索能力，不易實現(xiàn)全局搜索。此外，郊狼在迭代過程中一直朝著所在子種群內頭狼和文化趨勢方向移動，增加了算法陷入局部最優(yōu)的可能。

　　為此，本文根據子種群內郊狼個體的相似度動態(tài)調整郊狼成長更新方式，如公式(17)所示：???????????? ?? ? ?? ? ?? ? ?? r r p t cr p t cr p t c p t c p t c R P R P r soc soc soc r r r soc r new soc ( ) _ , 4 , 3 4 3 3 , 1 1 2 2 3 3 , , ?? ?? (17)其中， 1 r 、 2 r 、 3 r 和 4 r 為[0,1]內的隨機數; 3 cr 和 4 cr 分別為在該子種群內任意選擇的兩只不同于 1 cr 和 2 cr 的郊狼;R 為子種群中郊狼相似度，計算方式如公式(18)和(19)所示;Pr 為一常數。 2 ( 1) max ? ?? NC NC Count (18) Countmax Count R ? (19)其中， Count 為相似解的對數，通過算法 3 來確定; Countmax 為子種群內解的最大對數。通過二者的比值來確定種群相似度。

　　新的成長更新方式引入了全局最優(yōu)解來指導位置更新，加快了算法的收斂速度。當相似度高時，根據方式一對郊狼進行位置更新，郊狼的進化由 p t cult , 、 p t alpha , 以及 t Gbest 三者共同確定的方向信息來進行指導。此時，由于子種群內郊狼相似度高，? 1 和? 2 的值較小，從而使得算法在全局最優(yōu)解附近展開精細搜索，增強了算法的局部開發(fā)能力;當相似度低時，根據方式二對郊狼進行位置更新，郊狼的進化由 t Gbest 以及 p t cr p t cr soc soc , , 3 4 ? 共同確定的方向信息來進行指導。此時子種群內郊狼相似度低，子種群內郊狼的差值模型不僅使得子種群內信息得到共享，實現(xiàn)了子種群內郊狼的經驗交流，而且由于 p t cr p t cr soc soc , , 3 4 ? 值較大，從而加大了算法的搜索步長，增強了算法的全局搜索能力。

　　算法 2 新的成長更新策略偽代碼 1.初始化 Count? 0 ，根據公式(18)計算 Countmax 2.for i ?1: Nc ?1 3. for Nc j ? i ?1: 4. if ( ) ( ) ( ) ( ) , p,t p,t p,t i p t j f soc ? f soc ? f cult ? f aphal 5. Count ? Count ?1 6. end if 7. end for 8.end for 7.根據公式(19)計算種群相似度 R 8.if R ? Pr 9. 根據方式一更新郊狼的社會位置 10.else 11. 根據方式二更新郊狼的社會位置 12.end if

　　在算法迭代前期進行隨機全局搜索時，種群相似度較低，方式二以更大的概率指導郊狼的進化，全局搜索能力較強，算法可以憑借更高的概率找到到全局最優(yōu)解;在迭代后期進行局部開發(fā)時，種群相似度較高，方式一以更大的概率指導郊狼的進化，局部開發(fā)能力較強，提高了算法的收斂精度。隨著迭代的進行，在新的成長更新策略指導下，算法根據種群的相似度選擇合適的位置更新方式，有效地平衡了算法的全局搜索能力與局部開發(fā)能力，使得算法的優(yōu)化性能得到提升。

　　2.3 邊界處理方法

　　在算法尋優(yōu)過程中，當新產生的解個體超出自變量上下限時，通常將其設為上下限值，但是目標函數的最優(yōu)解往往不在搜索邊界上，簡單地將越界變量置于上下限上，會造成資源的浪費。故將越界分量按下式進行處理[21]，增強種群多樣性，同時降低了下次迭代產生新位置越過尋優(yōu)邊界的幾率。?????? ? ? ? ?? ? ? ? ?? j j j j i j j j i j j j j j i j j j i i lb lb x ub lb r x lb ub x ub ub lb r x ub x ， ，， ， min( ) min( ) (20)其中，r 為 [0,1] 內的隨機數， ubj 、 j lb 分別為 i j x 的上限值和下限值。

　　2.4 約束處理方法

　　合理有效的對約束進行處理，平衡可行解與不可行解的關系是獲得約束優(yōu)化問題最優(yōu)解的關鍵?？紤]到在求解約束優(yōu)化問題時，郊狼種群在尋優(yōu)迭代中必定會經過不可行情形、半可行情形和可行情形三種狀態(tài)，因此，本文在執(zhí)行完上述新的成長更新策略之后，依據各個子種群在迭代過程中所處的情形，分別調用三種不同的約束處理技術來與改進后的郊狼優(yōu)化算法相結合，實現(xiàn)目標函數和約束違反度二者的平衡，使得改進后的郊狼優(yōu)化算法可以充分發(fā)揮其新的成長更新方式的搜索性能。

　　(1)在不可行情形下，利用文獻[22]提出約束處理技術把無約束優(yōu)化問題構造為多目標優(yōu)化問題，然后通過 Pareto 支配方法找出子代種群中的所有非支配個體，并分別隨機替換一個父代種群中被它支配的個體(如果存在的話)。然后找出上述非支配個體中約束違反度最小的最優(yōu)個體，若其沒有替換父代種群中的個體，則使其隨機替換父代種群中的某個個體，已達到利用最優(yōu)個體持續(xù)地引導種群向可行區(qū)域靠近的目的。

　　(2)在半可行情形下，利用一種適應值轉換機制[23]把約束優(yōu)化問題構造為無約束優(yōu)化問題，依據新構造的解適應度函數對個體進行選擇，將攜帶重要信息的不可行個體和優(yōu)秀的可行個體保留到下一代群體中。具體過程為：首先將種群分成可行集合 Z1 和不可行集合 Z2 ，對應解 X i 的目標函數值 ( ) Xi f 按公式(21)轉換為：?????????? ? ? ?? ? 2 1 ( ) ( )} max{ ( ) (1 ) ( ) ( ) i Z i Z f X f X f X f X f X worst i best i i ，? ? (21)其中，?為可行解比例， Xbest 和 X worst 分別為可行集合中最優(yōu)及最差解。

　　對轉換得到的目標函數值和約束違反度按公式(22)和(23)進行標準化： max ( ) min ( ) ( ) min ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 j j Z Z j j Z Z j j Z Z i nor i f X f X f X f X f X ? ? ?? ? ??? ? ? ?? ? (22)G X j j Z j j Z j j Z i nor i (23)最后構造出的適應度函數可表示為： ( ) ( ) ( ) i nor Xi Gnor Xi F X ? f ? (24)可以看出在這種方法下，可行解依據目標函數值進行評價選擇，不可行解同時考慮了目標函數值和約束違反度后進行評價選擇，實現(xiàn)了目標函數和約束違反度之間的平衡。

　　(3)在可行情形下，種群中全部是可行解，約束優(yōu)化問題能夠被當作無約束優(yōu)化問題求解，利用目標函數對個體進行評價即可。

　　改進的郊狼優(yōu)化算法根據尋優(yōu)過程中種群在解空間的不同狀態(tài)，自主選擇合適有效的約束處理方法，完成對約束優(yōu)化問題求解。

　　2.5 算法實施步驟

　　將上述差分變異策略引入 COA 算法，并修改郊狼成長方式形成改進后的 COA 算法。結合自適應約束處理方法，DGCOA 算法的實施步驟可歸納如算法 3 所示。DGCOA 算法流程圖如圖 1 所示。算法 3 DGCOA 算法偽代碼輸入 郊狼種群初始參數 Nc、Np 等輸出 全局最優(yōu)解 Gbest

　　1.初始化種群參數，由公式(1)獲得 Nc ? Np 個初始解并隨機分組 2.While(不滿足終止條件)do 3. 計算種群中每個郊狼的 ( ) p,t c f soc 和 ( ) p,t c G soc ，根據條件 a)和 b)及公式(15)找出整個種群的全局最優(yōu)解 t Gbest 4. for 每個子種群 p do 5. 執(zhí)行變異交叉策略 6. 根據條件 a)和 b)及公式(3)確定子種群 p 中的頭狼 p t alpha , 7. 按照公式(4)確定子種群 p 中的文化趨勢 p t cult , 8. 按照算法 2 更新郊狼的社會位置 9. 按照公式(20)并行歸正郊狼成長范圍，獲得對應的子代子種群 t new p 10 并行計算更新后郊狼的目標函數值 ( ) t pnew f 和約束違反度 ( ) t G pnew 11 合并 t p 和 t new p 獲得組合子種群 t z ，按照自適應約束處理方法從 t z 中選擇 Nc 個較好的個體形成新的子種群 t?1 p ; 12. end for 13. 按照公式(9)和算法 1 模擬郊狼出生死亡選擇行為 14. end for 15. 根據公式(12)確定分散概率，進行組間遷徙 16. 更新郊狼的年齡 1 , , ? ? p t c p t agec age 16. 更新迭代次數 t ? t ?1 17.end while 18.選擇整個種群中表現(xiàn)最優(yōu)的郊狼，其社會位置即為全局最優(yōu)解 Gbest

　　改進的郊狼優(yōu)化算法通過執(zhí)行變異交叉策略和邊界處理方法，增加了種群多樣性，降低了算法早熟收斂現(xiàn)象發(fā)生的概率，提高了算法的穩(wěn)定性;通過引入全局最優(yōu)引導搜索，大大加快了算法的收斂速度;通過種群中個體相似度來對郊狼成長更新方式進行動態(tài)選擇，提高了算法的收斂精度。綜上所述，改進后的郊狼優(yōu)化算法無論是在尋優(yōu)穩(wěn)定性，還是在收斂精度和收斂速度方面都做出了改進，尋優(yōu)能力具有很大競爭性。

　　3 數值實驗與分析

　　3.1 參數設置

　　將 DGCOA 的尋優(yōu)結果與 COA、ICTLBO[4]、 ODPSO[2]、IWWO[8]、E-BRM[24]和 MGABC[6]算法進行對比。其中，ICTLBO 算法與本文所提 DGCOA 均是針對約束問題的分種群算法。DGCOA 算法中的參數設置為：?10 ?14 N p ，Nc ;變異交叉策略中的 變 異 算 子 和 交 叉 算 子 分 別 設 置 為 ： F ? 0.5，CR ? 0.8 ;相似度閾值根據實驗結果對比取最優(yōu)值 Pr ? 0.3 ;等式約束容忍值? ? 0.0001 ;最大函數評價次數(Max_NFEs)設定為 240000。COA 中相關參數與 DGCOA 設置相同。

　　各算法獨立運行 25 次，記錄各算法運行結果的平均值 Mean 和標準差 Std 如表 1 所示。表中 ( ) * f X 為目前已知最優(yōu)解 * X 處的目標函數值;‘NF’表示在全部運行次數內沒有找到可行解，將在全部對比算法中取得最優(yōu)的平均值和標準差加黑標注。部分算法在部分測試函數上的收斂曲線對比如圖 2 所示。值得說明的是選取的對比算法均為對應參考文獻中表現(xiàn)最優(yōu)的約束進化算法，其結果分別取自于對應的參考文獻。圖 2 中 ICTLBO 的收斂曲線由其源代碼運行所獲得。

　　3.2 測試函數結果及分析

　　本文采用平均值(Mean)和標準差(Std)作為評價各算法優(yōu)化性能的標準，平均值越小，算法的收斂精度越高;標準差越小，算法的穩(wěn)定性越好。

　　由表 1 可以看出，在收斂精度方面，DGCOA 在函數 g02、g13、g17、g21 和 g23 上獲得了較高的收斂精度，分別取得了第 4、第 3、第 3、第 3 和第 2 的排名。在其余 17 個函數上，DGCOA 在 7 種對比算法中獲得了最優(yōu)的平均值，即收斂精度最高。特別地，在函數 g10、g19 上，僅有 DGCOA 算法能夠以較高精度收斂至其最優(yōu)值，獲得全局最優(yōu)解;在穩(wěn)定性方面，DGCOA 在函數 g01、g04、g06、g10、 g12、g18 和 g19 上取得了最小的標準差，即穩(wěn)定性最高。相較 COA 算法僅在函數 g06、g12 和 g24 上可以穩(wěn)定的獲得最優(yōu)解，對于函數 g14、g17 和 g21 無法獲得可行解的情況，DGCOA 無論是在收斂精度還是穩(wěn)定性方面都獲得了很大的提高;相較其它 6 種算法，DGCOA 在大部分測試函數上的收斂精度和穩(wěn)定性也都能夠獲得具有高競爭力的結果。

　　由圖 2 的算法收斂曲線可以看出，相較 COA 算法，在相同函數評估次數的前提下，對于圖中所有測試函數，DGCOA 算法均能以更快的收斂速度收斂到其所能找到的最優(yōu)值附近，并具有更高的收斂精度。和同為分種群類智能優(yōu)化算法的 ICTLBO 相比，在測試函數 g01 上，DGCOA 收斂速度和收斂精度都具有較高競爭性;在函數 g02 和 g05 上， DGCOA 在早期迭代階段收斂速度稍遜于 ICTLBO，但在后期 DGCOA 同樣表現(xiàn)出了較高競爭性，與 ICTLBO 的收斂速度和收斂精度不相上下;在函數 g11 和 g15 上，DGCOA 早期迭代階段收斂速度優(yōu)于 ICTLBO，且在迭代后期能以較高的收斂精度收斂于最優(yōu)解;在函數 g17 上，DGCOA 在早期迭代階段收斂速度稍遜于 ICTLBO，沒有很快找到可行解，但在后期 DGCOA 的收斂速度超過了 ICTLBO。

　　綜上所述，圖 2 進一步證明了改進的 COA 算法無論是在收斂精度還是在收斂速度方面都得到了很大提升。

　　3.3 Wilcoxon 符號秩檢驗

　　采用 Wilcoxon 符號秩和檢驗統(tǒng)計方法[19]來評價 DGCOA 與表 1 中其它算法兩兩之間差異的顯著性。R+表示正秩總和，R-表示負秩總和。對兩種算法之間的統(tǒng)計比較結果采用符號“+、-、≈”表示。 “+”和“-”分別說明前一個算法明顯優(yōu)于或明顯差于后二個算法;“≈”說明兩種算法沒有明顯差異。Wilcoxon 符號秩和檢驗結果如表 2 所示。

　　可 以看 出 DGCOA 算法 明顯 優(yōu)于 COA、 ODPSO、E-BRM 和 MGABC 算法，與 ICTLBO 和 IWWO 算法之間無明顯差異。

　　4 工程優(yōu)化問題結果及分析

　　為進一步檢驗 DGCOA 解決實際工程問題的有效性，選取三個較為經典的約束工程設計問題[5]對 DGCOA 算法進行測試。

　　(1)Welded beam problem

　　將 DGCOA 運行結果和其他算法比較如表 3 所示?？梢钥闯?ICTLBO、IFOA 和 DGCOA 在每次運行中均能獲得最優(yōu)解，且 DGCOA 取得了最小的標準差，即 DGCOA 穩(wěn)定性更好。

　　(2)Tension string design problem

　　將 ICTLBO 運行結果和其他算法比較如表 4 所示?？梢钥闯?IFOA 和 DGCOA 在每次運行中均能獲得最優(yōu)解，且 DGCOA 取得了最小的標準差，即 DGCOA 穩(wěn)定性更好。

　　(3) Pressure vessel problem

　　將 DGCOA 運行結果和其他算法比較如表 5 所示?？梢钥闯?ICTLBO、COMDE 和 DGCOA 在每次運行中均能獲得最優(yōu)解，且 DGCOA 取得了最小的標準差，即 DGCOA 穩(wěn)定性更好。

　　5 結束語

　　本文提出了一種動態(tài)調整成長方式的郊狼優(yōu)化算法用于求解復雜優(yōu)化問題。首先，引入變異交叉策略來增加種群多樣性，協(xié)助算法獲得全局最優(yōu)解。此外，提出了一種新的成長更新策略，該策略中不但加入了全局最優(yōu)影響因子，加快了算法的收斂速度，還設計了兩種不同的成長方式，通過各個子種群中郊狼個體的相似度來對郊狼成長更新方式進行動態(tài)選擇，有效平衡了算法的全局探索與局部開發(fā)，同時也彌補了基礎 COA 算法中子種群內郊狼個體信息共享不足的問題。最后，將改進后的郊狼算法與一種自適應約束處理技術結合，實現(xiàn)了對約束優(yōu)化問題的有效求解。利用 CEC2006 提出的 22 個測試 函 數 和 三 個 廣 泛 被 使 用 的 工 程 設 計 問 題 對 DGCOA 算法和其他先進算法的性能進行了對比驗證。

　　從實驗結果可以看出，在求解高維復雜約束優(yōu)化問題時，盡管 DGCOA 能夠找到可行解，可是解的精度有待提高。 下一步將通過與其它先進方法結合來繼續(xù)改進郊狼算法的尋優(yōu)性能，提升其在求解高維優(yōu)化問題時解的質量。